RANDOM WALK

DIE VISUALISIERUNG DES ZUFALLS

WIE SIEHT DER ZUFALL AUS?

Random Walk geht dieser Frage nach und präsentiert Experimente aus Mathematik und Physik, die das rätselhafte Zusammenspiel von Chaos und Ordnung im Zufall zeigen.
In Random Walk wird der Zufall in leicht verständlichen Visualisierungen real simuliert und gibt einen Einblick in das Wirken eines bis heute ungeklärten Phänomens.

Der besondere Reiz am Thema Zufall ist die Tatsache, dass seine Existenz bisher weder bewiesen, noch widerlegt werden konnte – auch wenn er in Wissenschaft und Alltag immer wieder auftritt, bleibt er doch ein schattenhafter Begleiter von vielen Vorgängen. Random Walk richtet sich an alle, die sich mit dem mystischen Begriff des Zufalls auseinandersetzen möchten.In zehn Visualisierungen werden Vorgänge in Mathematik und Physik gezeigt, die die Frage nach dem Zufall aufwerfen sollen. In den dargestellten Modellen verschmelzen immer wieder zwei große Gegensätze zu einem Bild, das unserem Begriff vom Zufall entspricht: Chaos und Ordnung. Dabei sind die Visualisierungen nicht einfach illustriert, sondern das Ergebnis realer Simulationen und sind somit gleichzeitig ein Beweis für das Vorhandensein dieser Symbiose.

Alle grafischen Darstellungen der mathematisch-physikalischen Phänomene sind keine Nachbildungen, sondern sie wurden real simuliert. Mithilfe von Processing wurde eine Umgebung geschaffen, die das Spiel von Chaos und Ordnung, das im bloßen Datenmaterial ruht, zum Vorschein bringt. Würden diese Phänomene nicht in den Zahlen stecken, würden die Visualisierung auch aussagelos.

RANDOM WALK DER ZAHL PI

Die Konstante Pi hat unendlich viele Nachkommastellen, wobei es keine bestimmte Reihenfolge in der Ziffernfolge gibt. Dennoch ist die Häufigkeit jeder Ziffern von 0 bis 9 – zumindest in diesem dargestellten Bereich bis 1.000.000 Stellen von Pi – recht ausgewogen. Für die Ziffern von 0 bis 9 werden Richtungen von 0° bis 360° festgelegt. Erscheint die 0, wird beispielsweise ein Strich mit der Gradzahl 0° gezeichnet. Am Ende des Striches beginnt wiederum der nächste Strich. Die Länge des Striches ist dabei bei jeder Ziffer gleich. Auf diese Weise entsteht ein Pfad, der sogenannte „Random Walk“.

Die farbigen Flächen beziehen sich auf Abschnitte der Zahl Pi, die pro Schritt von 0 beginnend um jeweils 10.000 zunehmen. Diese Flächen legen sich um die äußeren Punkte des Random Walk. Man kann erkennen, dass mit zunehmender Größe immer rundere Formen entstehen. Die Häufigkeit der Ziffern von 0 bis 9 wird immer ausgewogener, je größer der betrachtete Zahlenbereich wird.

Kreiszahl – Wikipedia


POISSON-VERTEILUNG

Lässt man auf eine hingelegte Dartscheibe mit gleichgroßen Feldern Reiskörner rieseln und zählt anschließend, wie viele Körner jeweils auf den einzelnen Feldern liegen, stellt man nach einigen Wiederholungen eine gewisse Regelmäßigkeit in der Größe der Reiskornhaufen auf den Feldern fest. Diese Regelmäßigkeiten werden durch die sogenannte „Poisson-Verteilung“ beschrieben. Mit ihrer Hilfe kann man die Wahrscheinlichkeit berechnen, auf wie vielen Feldern eine bestimmte Anzahl von Körnern liegen wird. Welches konkrete Feld eine bestimmte Menge an Körnern aufweisen wird, ist selbstverständlich nicht vorhersagbar.
Die Felder der Dartscheibe in der Mitte der Visualisierungen haben alle dieselbe Flächengröße. Darauf fallen zufällig Punkte, und es wird gezählt, wie viele Treffer auf jedes einzelne Feld gefallen sind. Diese Treffermengen werden durch die farbigen Blätter angezeigt. Je größer das Blatt, desto mehr Felder gab es beispielsweise, die die Treffermenge Eins aufweisen. Die Anzahl der Blätter zeigt die Anzahl der Treffermengen. Die graue Linie zeigt die errechnete Annahme nach der Poisson-Formel. Natürlich kommen Blätter und Linie nie ganz zur Deckung, da die Menge an Zufallspunkten sehr klein ist, aber man kann erkennen, dass die Simulation der Poisson’schen Annahme folgt.

Poisson-Verteilung – Wikipedia


GALTON-BRETT

Bekanntermaßen unterliegen auch physikalische Experimente mathematischen Wahrscheinlichkeiten. Beim Galton- oder Nagelbrett-Experiment kommt die sogenannte Normalverteilung zum Tragen. Eine schräg stehende Fläche ist in regelmäßigen Abständen mit versetzten Nägeln versehen. Man lässt nun eine Kugel zwischen den obersten beiden Nägeln starten. Die Kugel prallt auf dem Weg nach unten immer wieder auf einen Nagel und wird dadurch nach links oder rechts abgelenkt, bis sie das Brett verlässt. Da das Abbiegen chaotisch, also nach dem Zufall verläuft, kann man von der einzelnen Kugel nicht vorhersagen, welchen Weg sie nehmen wird, allerdings lässt sich annähern, wie viele Kugeln an welchen Stellen des Brettes ihren Weg suchen und wie viele Kugeln das Brett an bestimmten Stellen verlassen werden. Dicke Bereiche in der Visualisierung zeigen an, dass einige Teilstücke des Brettes häufiger genutzt wurden: Hauptsächlich der gerade Weg nach unten.

Galtonbrett – Wikipedia


DIE VERTEILUNG DER PRIMZAHLEN

Eine Primzahl ist eine ganze Zahl größer als 1, die nur durch sich selbst und durch 1 teilbar ist. Im Zahlenbereich von 0 bis 1.000.000 gibt es 78.498 Primzahlen. Ihre Verteilung im Zahlenstrang ist dabei völlig chaotisch – man kann nicht voraussagen, wann eine Primzahl kommen wird, man muss jede Zahl konkret überprüfen. Dennoch nimmt die Dichte ihres Auftretens in höheren Zahlenbereichen immer weiter ab. Gibt es im Bereich 1 bis 1.000 noch 168, sind es zwischen 999.000 und 1.000.000 nur noch 53.
In der Visualisierung werden Gruppen von jeweils 400 Zahlen gebildet und als Linie dargestellt. Je mehr Primzahlen sich in diesen Gruppen befinden, umso weiter wächst die Linie in die Mitte. Wie man erkennt, gibt es im Detail keine Regelmäßigkeit der Linienlängen – die Anzahl der Primzahlen in den einzelnen Gruppen ist chaotisch verteilt, dennoch bildet sich auf lange Sicht eine Spirale, die auf das Abnehmen der Primzahldichte schließen lässt, je höher der betrachtete Zahlenbereich wird.

Primzahl – Wikipedia


DAS BENFORDSCHE GESETZT

Bestimmte Datensätze, deren Werte nicht durch bewusste Manipulation bestimmt wurden, wie beispielsweise die Flächengrößen der Länder der Erde, haben eine interessante Eigenschaft. Betrachtet man nur die erste Ziffer der Flächengrößen, stellt man fest, dass die Häufigkeiten der Ziffern von 1 bis 9 in einem Verhältnis zueinander stehen, die auch bei völlig anderen Datensätzen wie beispielsweise DAX -Werten anzutreffen ist. Dieses Phänomen wird das „Benfordsche Gesetz“, bzw. das „Gesetz der ersten Ziffer“ genannt. Obwohl die Daten im einzelnen nicht bewusst beeinflusst wurden, unterliegen sie dennoch dieser Regelmäßigkeit. Sind sie hingegen manipuliert worden, kann man dies anhand des Gesetzes in einem gewissen Rahmen erkennen.
Alphabetisch sind hier alle Länder der Erde mit ihren Flächengrößen aufgelistet. Von diesen wird dabei nur die erste Ziffer berücksichtigt. Diese Ziffern sind mit Linien verbunden, die zu ihren Gruppen laufen. Die Gruppen wachsen mit der Anzahl ihrer Ziffern. Darüber hinaus wird der prozentuale Anteil einer Ziffer an der Gesamtmenge der Ziffern gezeigt. Daneben stehen in den Halbkreisen die erwarteten prozentualen Anteile nach dem Benfordschen Gesetz. Man sieht, wie gut dieses Gesetz schon bei diesem relativ kleinen Datensatz zum Tragen kommt.

Benfordsches Gesetz – Wikipedia


DIE MONTE-CARLO-METHODE

Die Flächengröße von Grundformen wie Rechteck, Kreis oder Dreieck lassen sich durch festgelegte Formeln einfach berechnen. Doch wie würde man die Fläche eines Farbkleckses bestimmen? Eine Möglichkeit wäre es, die chaotische Form in möglichst viele kleine Rechtecke aufzuteilen und die Summe dieser Flächen zu ermitteln. Eine wesentlich einfachere Herangehensweise bietet die „Monte-Carlo-Methode“, benannt nach dem Zufallsprinzip in einem Spielcasino.
In einem Kreis in der Mitte liegen zwei Formen, deren Größen ermittelt werden sollen. Dazu werden Zufallspunkte auf diese Formen geworfen, denn man geht davon aus, dass der Zufall die Punkte gleichverteilt setzen wird. Je nachdem, welche der beiden Formen getroffen wurde, färbt sich der Punkt ein, und eine Linie läuft von ihm zum Rand der entsprechenden Farbe. Anhand des Verhältnisses der beiden Punktemengen zueinander kann man errechnen, wieviel Prozent jede Form vom Kreis einnimmt, und so ist die Bestimmung der Formgrößen durch Zufallspunkte möglich.

Monte-Carlo-Simulation – Wikipedia


DAS GESETZ DER GROSSEN ZAHLEN

Die Häufigkeit von gezogenen Lottozahlen folgt grundsätzlich dem „Gesetz der großen Zahlen“. Sofern jede der 49 Kugeln in der Lostrommel die gleiche Chance hat, gezogen zu werden, wird sich eine immer ausgewogenere Häufigkeit einstellen, je länger man die Ziehung wiederholt. Die Kugel mit der Eins wird irgendwann fast so häufig gezogen worden sein wie die 49, da ja alle Kugeln die gleiche Chance haben. Welche Kugel aber als nächstes gezogen wird, lässt sich daraus nicht folgern, selbst wenn eine Zahl scheinbar im „Rückstand“ ist.
In den blumenförmigen Grafiken sind die durchschnittlichen Ziehungshäufigkeiten der Kugeln in bestimmten Zeitintervallen kreisförmig dargestellt. Je häufiger eine Kugel gezogen wurde, umso länger wächst sein Blatt von der Mitte nach außen. Man kann links oben erkennen, dass die Blätter in einem einzigen Jahr deutlich unterschiedliche Längen aufweisen – es kamen also nicht alle Zahlen gleich oft vor. Fasst man aber nun immer mehr Jahre zusammen, gleicht sich die Ziehungshäufigkeit immer mehr aus. Unten rechts ist die durchschnittliche Ziehungshäufigkeit aller seit 1955 in den Samstagsziehungen ermittelten 19.026 Zahlen dargestellt. Diese Häufigkeiten sind bereits deutlich ausgeglichen.

Gesetz der großen Zahlen – Wikipedia

Die Diplomarbeit entstand im SS 2009 an der FH Mainz, bei Prof. Johannes Bergerhausen.